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확률변수 -> 확률분포표 만드는 방법확률과통계 2022. 9. 1. 13:54
확률변수 -> 확률분포표 만드는 방법
통계에 나오는 ‘확률변수’라는 용어는 이런 의미이다.
확률변수는 ‘집합’이고, 확률변수가 취하는 값은 ‘원소’이다.
확률변수는 집합이므로 대문자로 X 또는 Y로 표현한다.
(ex 확률변수 X, 확률변수 Y, 확률변수 Z 등)
확률변수가 취하는 값은 원소이므로 소문자 x1, x2, x3, ⋯등으로 나타낸다.
가령, 확률변수 X가 취하는 값이 x1, x2, x3, x4, x5라고 하면,
로 나타낼 수 있다.
확률변수는 단순한 집합이 아니라, ‘확률’과 관계된 집합이다.
이 집합에 속하는 원소(=확률변수 X가 취하는 값) x1, x2, x3, x4, x5는 ‘확률값’에 대응되는 함수를 갖는다. 다시 말해 ‘확률변수X(or Y or Z)는 그 원소가 어떤 확률에 대응되는 함수구조를 가진다’는 것이 가장 중요한 특징이다.
확률변수 X가 취하는 x1, x2, x3, x4, x5값 은 ①반드시 ②오직 하나 의 확률에 대응되므로 함수의 정의를 만족한다.
그렇다면 확률변수X(편의상 X를 쓰자)의 예시는 다음과 같다.
가령, 동전을 세 번 던져 앞면이 나오는 횟수를 확률변수X 라고 하자. 이 문장의 구조를 해석하면 확률변수가 취하는 값과 그 취하는 값이 대응되는 확률, 뿐만아니라 기대값, 분산까지 모두 구할 수 있게 된다.
이 문장을 해석해보면 크게 두 부분으로 나뉜다. ‘동전을 세 번 던져 앞면이 나오는 횟수’와 ‘확률변수X' 이다. 전자는 후자를 수식(=정의)한다.
또 ‘동전을 세 번 던져 앞면이 나오는 횟수’를 두 부분으로 나눌 수 있다.
즉, 횟수에 초점을 맞추면 세 번 던져서 앞면이 하나도 나오지 않을 수도 있고(0회), 모두 앞면이 나올 수도 있으며(3회), 1회나 2회가 나올 수도 있다. 이러한 경우들이 ‘확률변수 X가 취하는 값’이 된다.
확률변수 X가 취하는 값들(=집합 X에 속하는 원소들)은 0, 1, 2, 3이 있을 것이다. 이 원소들은 어떤 확률에 반드시 대응된다는 것이 ‘확률변수’라는 집합의 가장 중요한 특징이라고 설명했다. 그럼 확률변수 X가 취하는 값들인 0, 1, 2, 3 가 각각 어떤 확률에 대응되는지 살펴보자.
개별 확률들을 구해보자. 이때 ‘동전’이라는 ‘독립시행의 확률’이라는 것도 기억하자.
①동전을 세 번 던져 앞면이 0회 나올 확률은
앞면을 H, 뒷면을 T라 할 때, (T, T, T) 1가지 경우의 수 밖에 없으며 이 경우의 확률은 3번 모두 동시에 앞면이 나와야 하므로
가 된다.
②동전을 세 번 던져 앞면이 1회 나올 확률은
(H, T, T)(T, H, T)(T, T, H) 3가지 경우가 있고, 각각의 확률은 독립시행확률로서 같은데, 앞면이 1번, 뒷면이 2번나오므로
이 된다.
③동전을 세 번 던져 앞면이 2회 나올 확률은
(H, H, T)(H, T, H)(T, H, H) 3가지 경우가 있고, 각각의 확률은 독립시행확률로서 같은데, 앞면이 2번, 뒷번이 1번 나오므로
④동전을 세 번 던져 앞면이 3회 나올 확률은
(H, H, H) 1가지 경우의 수 밖에 없으며 이 경우의 확률은 3번 모두 동시에 앞면이 나와야 하므로
가 된다.
①, ②, ③, ④을 구해보니 확률의 종류가
두 가지로 중복된다. 확률변수 X가 취하는 값인 0, 1, 2, 3이 확률에 대응되는 함수를 가지므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
혹은 ‘표’로 나타낼 수 있는데, 이를 확률변수 X가 취하는 값이 어떤 확률에 ‘대응’되는 것을 ‘분포’된다고 해석하여 ‘확률분포표’라고 부른다. 확률분포표는 ‘기대값(평균)’과 ‘분산’, ‘표준편차’를 구하기 편리하게 만드는 표이므로 매우 중요한 표라고 할 수 있다.
위 그림을 ‘확률분포표’로 나타내면 다음과 같다.
이 표의 구조를 살펴보자.
윗줄은 확률변수의 이름과 확률변수라는 집합 내부에 원소들(=확률변수가 취하는 값들)이 들어간다. 아랫줄은 마치 함수의 Y와 같은 역할을 한다.
앞으로 ‘확률변수’라는 말이 나오면
① 확률변수가 취하는(집합에 속하는) 모든 값이 확률에 하나씩 대응된다.
② 그러한 확률들의 합이 1이다.
는 것을 꼭 기억하길 바란다.
일반적인 이야기지만 ‘그림’ 또는 ‘표’는 수학문제해결에 있어서 매우 유용한 도구가 된다. 확률변수는 모두 위와 같은 표로 나타낼 수 있음을 기억하자!
이 표를 ‘확률분포표’라고 부른다는 것도 기억하자!
이 표를 이용하면 ‘평균’, ‘분산’을 계산하기 매우 편리해진다.
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