야구 경기 문제로 살펴보는 독립시행확률

야구 경기 문제로 살펴보는 독립시행확률

독립시행은 각각의 시행확률이 일정하게 정해져 있고 각 시행이 서로 영향을 주지 않는 것을 말한다. (ex, 동전던지기, 주사위 여러번 던지기, 구슬 꺼내고 다시 집어넣기 등)

 

꼭 동전 던지기가 아니더라도 개별 시행의 확률이 일정한(=변함없는) 관계에도 독립시행확률이 될 수 있다.

 

가령 A팀, B팀이 야구경기를 한다고 할 때,

팀이 이길 확률이

이라고 하면, 이 확률이 독립시행 확률이 된다. 매번 경기를 할 때마다

의 확률로 같기 때문이다.

 

문제는 보통 다음과 같이 나온다.

 

A, B두 팀이 5번 경기를 한다.

A팀이 3번 이기고, B팀이 2번 이길 확률을 구하시오.

 

이 문제를 분석해보면 5번 경기를 한다고 했으므로 반드시 5번의 경기를 치러야 한다. 3선승제의 조건이 있지 않다는 것을 유의하자.

그럼 다음처럼 5칸의 그림을 그릴 수 있다.

 

 

여기에 이기는 팀명을 넣으면 된다. 문제 조건을 만족하면 되는 것이다.

 

등 여러 가지 경우가 있을 것이다. 사실 위 2가지 경우 외에도 아직 많은 경우가 남아있다.

일단 위 2가지 경우의 ‘확률’을 구해보자.

이때의 확률이란 각각의 경기에서 A가 이길 확률 또는 B가 이길 확률(A가 질 확률)이 ‘동시에’, ‘연달아서’, ‘모두 종료될 때까지’ 일어나므로 곱해야 하며, 이때의 확률은 모두 앞의 사건과 무관한 ‘독립시행’이다. 100번을 경기해도 항상 A가 이길 확률이

으로 일정하기 때문이다.

좌우지간 ①, ②의 확률만 먼저 구해보도록 하자.

 

① A승 A승 A승 B승 B승

B승이란 것은 A가 졌다는 것이므로

 

 

이다.

 

 

② A승 A승 B승 A승 B승

여기서 주목해야 하는 중요한 사실은

‘둘 다 확률이 같다’는 것이다. 왜 그럴까?

이기는 순서에 상관없이

은 3번,

는 2번 곱해지기 때문이다.

곱셈의 교환법칙에 의해 A가 3번 이기고, B가 2번 이기는 확률은 모두 같다.

위 2가지 경우 외에 A가 3번 이기고 B가 2번 이기는 경우는 모두 몇 가지일까?

 

이때, 경우의 수는

AAABB

를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같고,

‘같은 것이 있는 순열’로 풀 수 있다.

 

이고 모두

의 확률을

AAABB 배열하는 경우

→ 10가지

 

여기서 잠깐! 이 문제를 푸는 방법에서 ‘이항정리’를 이용할 수 있다.

이항정리는 항이 2개인 (a+b)n꼴로 표시할 수 있는 구조이다. 이것은 확률의 구조와 관련지어 활용할 수 있다.

무슨 말이냐면 어떤 사건이든 일어날 확률과 일어나지 않을 확률이라는 두 개의 값으로 나눌 수 있는데

(a+b)n에서

a에 어떤 사건이 일어나는 확률을

b에 어떤 사건이 일어나지 않을 확률

이 들어가고

n은 말하자면 시행의 횟수를 넣는 것이다.

단, 시행마다 확률이 일정한 독립시행확률일 경우에만 이항정리로 풀 수 있다.

 

그렇다면 A,B팀이 야구경기를 치루는 문제를 이항정리로 풀어보자.

 

A팀이 이기는 확률이

A팀이 지는 확률이

, 5번의 경기

로 나타낼 수 있다. 이때

을 택한다는 것은 B팀이 이기는 것을 택한 것이고

을 택한다는 것은 A팀이 이기는 것을 택한 것으로 해석한다.

이항정리를 이용하여 이 식을 전개하면

 

문제의 조건에 맞는 정답

 

을 분석해보면 먼저 5C2는 서로 다른 5개 중 2개를 선택하는 경우의 수인데,

 

왼쪽의 AAABB 의 ‘같은 것이 있는 순열’을 서로 다른 5개 중 2개를 택하는 경우의 수로 보면 둘은 같은 경우의 수를 가진다.

또한 각각의 확률은

이므로 결국

인 것은 앞서 푼 결과와 같다.

 

이항정리 → 독립시행의확률

 

과 밀접한 관련이 있음을 확인할 수 있다.

 

이제 문제의 조건을 바꿔보자.

 

5판3선승제에서

A팀이 우승할 확률을 구하시오.

A팀이 이길 확률은

이다.

 

이번에는 조건을 추가하여 3번 먼저 이긴 팀이 승리하는 경우의 확률을 구해보자.

이런 문제를 해결하는 좋은 방법은 역시 그림을 그려보는 것이다.

 

A팀이 우승하는 경우를 크게 분류해보면,

 

① A팀이 연달아 3번 이겨서 경기가 빠르게 끝나는 경우가 있을 것이고,

② A팀이 1번지고 3번 이기는 경우,

③ A팀이 2번지고 3번 이기는 경우,

④ A팀이 3번지고(응? 그럼 팀이 우승하지 못한다)

 

따라서 위 3가지 분류만 살펴보면 될 것이다.

 

① A팀이 연달아 번 이기는 경우를 그림으로 표현하면

 

AAA이므로

 

첫 번째 경기에서 A팀이 이기고,

두 번째 경기에서 A팀이 이기고,

세 번째 경기에서 A팀이 이기고, 팀이 3선승제에 의해 우승한다.

② A팀이 1번 지고 번 이기는 경우, 이 경우는 4번의 경기를 무조건 해야 한다는 조건이 숨어있다.

 

AAAB

AABA

ABAA

BAAA

 

이 중에서 AAAB는 ①에 포함되고, 이미 세 번째 경기에서 A팀이 우승하므로 뺀다.

모두 3가지 경우이고 각각 확률이

이므로 ②의 확률은

 

③ A팀이 2번 지고 3번 이기는 경우, 이 경우는 무조건 5번의 경기를 해야 한다는 조건이 숨어있다.

 

주의 AABAB(×)네 번째 경기에서 A팀이 우승하게 되므로 다섯 경기를 할 수 없다.

 

결국 다섯번째 경기는 A팀으로 고정되어 있으므로 앞의 네 경기를 AABB의 배열로 보아 ‘같은 것이 있는 순열’로 해결하면 경우의 수를 구할 수 있다.

6가지 모두 개별 확률이 A팀이 3번 이기고 B팀이 2번지는 경우와 같다. 주의해야 하는 것은 ‘확률’은 모든 경기를 포함해야 하므로 다섯 번째 경기에서 A팀이 이기는 경우도 확률에 포함시켜야 한다.

A팀 3번 이기고, B팀 2번 이긴다

따라서 6가지 경우의 확률이 모두

이므로

끝으로 ①, ②, ③의 확률을 모두 더해야 A팀이 ‘우승’할 확률이 된다.

 

이처럼 독립시행의 확률문제는 문제유형에 따라서

 

 

두 가지 방법 중 알맞는 방법을 적용하면 된다.