이항정리가 파스칼삼각형의 한계를 극복?

이항정리가 파스칼삼각형의 한계를 극복?

이항(二項) : 항이 2개라는 뜻임.

 

이항정리는 경우의 수, 확률, 통계의 가교역할을 하는 매우 중요한 개념이다. 경우의 수에서 처음으로 이항정리가 소개되고 이항정리를 ‘같은 것이 있는 순열’ 또는 ‘조합’으로 설명한다. 확률에서 이항정리의 구조가 ‘독립시행 확률’에 녹아들어가고, 통계에서 이항정리의 구조가 ‘이항분포식’으로 녹아들어가기 때문이다.

여기에서는 먼저 이항정리가 왜 필요한지와 이항정리가 어떤 개념으로 설명이 되는지 살펴보도록 한다.

 

우리는 앞의 과정에서 아래와 같은 공식을 배운 적이 있다.

 

(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

 

이 2개의 공식으로부터 어떤 규칙성을 찾아보기로 하자.

 

① (a+b)2을 전개하면 항이 3개이고

    (a+b)3을 전개하면 항이 4개이다.

 

그럼 (a+b)4를 전개하면 항이 몇 개일까? 5개로 예상

 

② (a+b)n일 때, n에 들어가는 숫자만큼, 최고차항이 결정된다.

③ a의 차수가 1개씩 내려갈 때, b의 차수는 1개씩 올라간다.

④ a의 차수와 b의 차수의 합은 (a+b)n의 n이다.

 

이러한 규칙성에 근거해서 (a+b)4가 어떻게 전개될지 예측해보자.

 

(a+b)4

① 항의 개수는 5개일 것이다.

② 최고차항의 차수는 4일 것이다. a4, b4의 항이 존재할 것이다.

③ a의 차수가 1개씩 내려갈 때, b의 차수는 1개씩 올라갈 것이다.

④ a의 차수와 b의 차수의 합은 4이다.

 

 

이 규칙성에 근거하면

일 것이고

라고 예상할 수 있다.

이렇게 쓰고 나니 어떤 규칙성을 발견한다는 것은 매우 유용하다는 생각이 든다. 만일 규칙성을 활용하지 않는다면

(a+b)4를 (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)을 전개하는 방식으로 복잡하게 계산해야하기 때문이다.

 

이제 좀더 세부적으로 들여다보기로 하자.

 

예상대로라면

 

유추한 대로 쓰고 나서 보니 무언가 빠진 느낌이 든다.

(a+b)4의 전개식을 보면 항의 계수가 모두 1이 아닐 것이라는 느낌이 들지 않는가? (a+b)2의 전개항을 보면 2ba처럼 계수가 2이고, (a+b)3의 전개항을 보면 3a2b, 3ab2처럼 계수가 3으로 되어 있는데, (a+b)4의 전개항에 있는 a3b, a2b2, ab3의 항의 계수는 모두 1이니 말이다. 물론 이것은 틀린 식이다. 항의 계수가 모두 1이 아닌 것이다.

실제로 (a+b)4를 전개해보면

가 된다.

 

다시 제대로 쓰면 다음과 같다.

 

이제 (a+b)4가 이처럼 전개된다는 사실을 알게 되었다. 계수가 1이 아니라는 사실만 빼고는 앞서 유추한 것이 옳다는 사실도 알게 되었다.

또 다른 유추를 시도해보기로 하자. 이제 (a+ b)2, (a+ b)3, (a+ b)4 3개의 전개식을 알았으니 이걸 통해 (a+b)5의 전개식을 예상해보는 것이다.

이제 전개할 때 ‘항의 계수’까지 예상할 수 있으면 완벽하게 전개할 수 있을 것이다.

이제 다른 모든 요소를 배제하고 오로지 ‘항의 계수’만 나열해보자.

항의 개수가 1개씩 늘어나므로 이를 삼각형 모양으로 나열해보면,

이와 같은 모양이 된다. 이 항의 계수를 보면서 ‘규칙성’을 찾아보면

이웃 하는 항의 계수의 합은 바로 아래 수와 같음을 알 수 있다.

또한 각 줄의 시작과 끝의 항의 계수가 1임을 알 수 있다.

규칙성을 찾아 채워보기 바란다.

규칙성에 의하면 (a+b)5의 전개식에서 각 항의 계수가 1, 5, 10, 10, 5, 1이 됨을 알 수 있다.

이 규칙성에 따라서 (a+b)5를 전개하면

가 된다. 또 이 규칙성에 의해 (a+b)6의 전개식도 쉽게 알 수 있다.

이 된다.

이렇듯 (a+b)n 꼴을 쉽게 전개할 수 있게 되었다. 이때, 항의 계수들만 따로 모아서 다음과 같이 나타내는 것을 ‘파스칼의 삼각형’이라 부른다. 항의 개수가 늘어나는 모양이 마치 삼각형과 같기 때문에 붙여진 이름이다.

 

[파스칼의 삼각형]

 

우리는 파스칼의 삼각형을 보면서 새로운 규칙성을 찾을 수 있다. 교과과정 상 중요하게 다루어지는 규칙성이 무엇일까?

 

① 가운데를 기준으로 좌우대칭이다.

② 역삼각형 모양으로 숫자 3개를 묶으면 윗줄의 수의 합은 아래의 수이다.

③ 하키스틱 모양으로 숫자를 묶으면 끝부분의 숫자가 나머지 수들의 합과 같다.

단, 1부터 시작해서 묶어야 한다.

 

파스칼 삼각형은 이와 같이 세 가지 특징이 있다.

지금까지 공부한 내용을 정리해보면 처음에 (a+b)2, (a+b)3이 전개되는 식을 보고 (a+b)3이 어떻게 전개되는지 유추해보았고, 그 과정 속에서 ‘항의 계수’가 규칙성을 띈다는 것으로부터 ‘파스칼의 삼각형’을 만들 수 있게 되었다.

파스칼의 삼각형은 (a+b)n 꼴의 n이 n= 1, n= 2, n= 3, n= 4, ⋯가 되어 가면서 a, b라는 2개의 항이 전개되는 항의 계수를 모은 것이므로 a, b라는 이(二)항정리인 것이다.

이항정리는 위와 같은 ‘항의 계수’에 대한 규칙성을 알고 원하는 항의 계수를 쉽게 찾도록 돕는 개념이다.

가령, (a+b)10을 전개한다고 해보자. 파스칼의 삼각형을 이용한다면 무려 9줄에 달하는 숫자 그림을 그려야 할 것이다.

그런데 만일 (a+b)100을 전개하려면 파스칼의 삼각형을 그리는 것은 곤란할 것이다. 특히 (a+b)10의 많은 항 중 a30b70의 계수를 알고 싶다면 파스칼의 삼각형을 그리는 방법 말고 다른 방법이 필요해 보인다. 그렇다면 어떻게 a30b70과 같은 항의 계수를 찾을 수 있을까? 이에 대한 해답을 찾는 여정이 바로 ‘이항정리’에 대한 내용이다.

이항정리라는 것이 어디선가 뚝 떨어진 개념이 아니라 사실은 이미 배운 ‘순열’과 ‘조합’을 통해 나온 것임을 먼저 알고 있어야 한다. 그렇다면 시작해보겠다.

 

파스칼삼각형의 한계를 이항정리로 극복

a30b70은 (a+b)100을 전개하면 나오는 항인데, 항의 계수가 얼마인지 알 수 없고, 파스칼의 삼각형만으로는 구하기 쉽지 않다는 것이 현재의 문제점이다.

그렇다면 이제 앞에서 배운 ‘순열’ 또는 ‘조합’을 이용해서 계수를 찾기로 하자.

조금은 작은 차수로 시작해 보기로 하자.

 

(a+b)3은 (a+b)를 세 번 곱한 식이다.

(a+ b)3= (a+ b)(a+ b)(a+ b)

 

(a+ b)(a+ b)(a+ b)을 전개하는 방법은 무엇일까? (a+ b)(a+ b)를 전개하고 이어서 (a+ b)를 곱하는 식으로 전개할 수 있다.

 

(a+ b)(a+ b)(a+ b) = (a2+ 2ab+ b2)(a+ b)

 

고1 과정에서 배운대로 a(b+c)=ab+ac라는 분배법칙을 이용하여 위 식을 전개할 수 있다. 이것은 실수의 연산법칙 중 ‘분배법칙’을 이용한 전개방식이다.

이제 관점을 약간 달리해서 식을 전개해보자.

가령, (a+ b)2이 있다고 할 때 (a+ b)(a+ b) 를 우리는 어떻게 전개했는가하면 하나씩 빠짐없이 짝을 지어 곱하였다는 것을 알 수 있다.

이것을 ‘뽑는 것’, ‘선택’의 관점에서 바라보는 것이 ‘조합’의 관점이다.

a2은 왼쪽의 (a+b)에서 a를 택하고 / 오른쪽 (a+b)에서 a를 택한 것이고

ab은 왼쪽의 (a+b)에서 a를 택하고 / 오른쪽 (a+b)에서 b를 택한 것이고

ba은 왼쪽의 (a+b)에서 b를 택하고 / 오른쪽 (a+b)에서 a를 택한 것이고

b2은 왼쪽의 (a+b)에서 b를 택하고 / 오른쪽 (a+b)에서 b를 택한 것이다.

 

방금 왼쪽의 (a+b)와 오른쪽의 (a+b)를 구분했다는 점에 주목해야 한다. 무슨 말이냐면 (a+b)(a+b)가 순서가 있다는 얘기다.

 

(a+b)를 네모박스로 바꾸어보자.

네모박스 위에는 번호가 있어 순서가 있음을 나타낸다. 여기서 네모박스를 선택하는 것을 a, 선택하지 않은 것을 b로 여긴다.

 

여기서 잠깐 ‘선택’에 대한 이해가 필요하다.

선택의 대상이 2개일 때를 생각해보자. 둘 중 하나를 선택하는 것은 ‘선택되지 않은 것을 선택한 것과 같다’로 해석할 수 있다.

가령, a, b가 있을 때, a를 선택한 것은 b를 선택하지 않은 것이지만, ‘해석상’ b를 선택한 결과나 마찬가지가 된다. 이를 바탕으로 아래를 ‘조합’으로 구성해보자.

 

서로 다른 2개의 네모박스 중 2개를 선택하는 경우의 수 →2C2 = 1

서로 다른 2개의 네모박스 중 1개를 선택하는 경우의 수 →2C1 = 2

서로 다른 2개의 네모박스 중 0개를 선택하는 경우의 수 →2C0 = 1

 

경우의 수를 조합으로 계산하면 위와 같은데, 아래 그림으로 확인해보자.

선택된 것은 검은색(=a), 선택되지 않은 것을 흰색(=b)으로 표현한다.

이때 검은색은 (a+b)에서 a, 흰색은 (a+b)에서 b라고 해석한다.

 

서로 다른 2개의 네모박스 중 2개를 선택하는 경우의 수는 1가지이다.

서로 다른 2개의 네모박스 중 1개를 선택하는 경우의 수는 2가지이다.

 

서로 다른 2개의 네모박스 중 0개를 선택하는 경우의 수는 1가지이다.

 

네모박스를 선택하는 것을 분류하면

 

서로 다른 네모박스 중 2개를 선택하는 경우 = a를 2개 선택

서로 다른 네모박스 중 1개를 선택하는 경우 = a를 1개 선택

(자동으로 b는 1개 선택됨)

서로 다른 네모박스 중 1개를 선택하는 경우 = a를 0개 선택

(자동으로 b는 2개 선택됨)

이처럼 선택하는 네모박스 개수를 a 또는 b의 개수로 해석할 수 있다.

 

즉 (a+ b)2의 항의 종류가 a2, ab, b2가 있을 때, 각 항의 계수는 (a+ b)(a+ b)를 서로 다른 네모박스로 보고

 

네모박스를선택하는개수 = a의차수

 

로 해석하는 것이다. 이제 (a+ b)10를 예로 들어보자.

(a+ b)10에는 a10, a9b, a8b2, a7b3, a6b4, a5b5, a4b6, a3b7, a2b8, ab9, b10의 항이 존재한다. 각 항의 계수는 서로 다른 10개의 네모박스 중 몇 개의 박스를 선택하는가로 해석할 수 있다. 이것이 ‘조합’으로 푸는 방식이다.

먼저 (a+ b)10을 순서가 존재하는 서로 다른 네모박스로 해석해보자.

 

 

서로 다른 10개의 네모박스 중 10개 모두를 선택하는 경우의 수는 10C10 = 1

a10이 나오는 경우의 수는 1가지이므로 라는 a10항이 된다.

서로 다른 10개의 네모박스 중 1개를 선택하는 경우의 수는 10C1 = 10(가지)

ab9이 나오는 경우의 수는 10가지이므로 라는 10ab9항이 된다.

 

이런 방식으로 보면 a3b7의 항의 계수는 서로 다른 네모박스 중 (a를 기준으로 볼 때) 3개를 선택하는 방법의 수가 된다.

선택된 박스가 a, 선택되지 않은 박스가 b이므로 각각의 줄은 a3b7이다.

a3b7의 경우의 수는 서로 다른 10개의 네모박스 중 3개를 선택하는 경우의 수이므로

 

이다. a3b7이 120개가 있으므로 a3b7의 항의 계수는 120인 것이다.

(a+ b)10을 전개하면 120a3b7을 가진다.

(a+ b)를 네모박스라고 보고 10개의 서로 다른 네모박스 중에서 선택되는 네모박스를 a, 선택되지 않은 네모박스를 b라고 하면

 

a가 10개 선택되는 경우의 수 → a10의 항의 계 수→10C10

a가 9개 선택되는 경우의 수 → a9b1의 항의 계수 →10C9

a가 8개 선택되는 경우의 수 → a8b2의 항의 계수 →10C8

a가 7개 선택되는 경우의 수 → a7b3의 항의 계수 →10C7

a가 6개 선택되는 경우의 수 → a6b4의 항의 계수 →10C6

a가 5개 선택되는 경우의 수 → a5b5의 항의 계수 →10C5

a가 4개 선택되는 경우의 수 → a4b6의 항의 계수 →10C4

a가 3개 선택되는 경우의 수 → a3b7의 항의 계수 → 10C3

a가 2개 선택되는 경우의 수 → a2b8의 항의 계수 →10C2

a가 1개 선택되는 경우의 수 → a1b9의 항의 계수 →10C1

a가 0개 선택되는 경우의 수 → b10의 항의 계수 →10C0

 

위 경우를 일렬로 나열하는 것이 (a+ b)10의 전개식이다.

이와 같이 여러 개의 중에서 (a+ b)를 하나의 (a+ b)네모박스로 보고 이것을 선택하는 것을 a, 선택하지 않은 것을 b로 해석하면 항의 계수를 알 수가 있다.

가령, (a + b)100에는 a30b70이라는 항이 존재할 것인데, 이 항의 계수는 100개의 (a + b)를 100개의 네모박스라고 해석하고, 이 중에서 30개의 네모박스를 선택하는 경우의 수 100C30이 계수가 되는 것이다.

이를 일반화화면,

이고, ‘조합’의 공식 중에는 nCr=nCn-r이 성립하므로 (ex 10C7=10C3,  5C3=5C2)

과 같다. 이것을 ‘이항정리식’이라고 부른다.

 

‘조합’을 이용하여 이항정리 전개식을 구할 수 있게 되는 것이다.

 

이제 ‘순열’의 관점에서 각 항의 계수를 구하는 방법을 알아보자.

가령 (a+b)10을 전개한다고 할 때,

이것을 전개한 결과가 다음과 같다면,

a9b의 계수인 □안에 들어가는 수가 무엇일까?

이 항은 a를 9번 선택, b를 1번 선택했다는 것이고, 이것이 1개가 아니라는 것이다. 가령,

→10a9b

이처럼 a를 9번, b를 1번 선택할 수 있는 경우가 10가지임을 알 수 있고, a9b의 항의 계수가 10a9b라는 것을 알 수 있다.

그렇다면 a를 3번, b를 7번 선택하는 a3b7의 항의 계수를 찾아보자.

경우의 수가 무척 많을 것이다. 그런데 가만히 살펴보면, 어디선가 많이 본 그림임을 알 수 있다. 그렇다! ‘같은 것이 있는 순열’인 것이다.

a가 3개, b가 7개인 aaabbbbbbb을 일렬로 나열하는 방법의 수와 같은 것이다.

 

aaabbbbbbb

 

앞서 배운 바대로, 같은 것이 있는 순열을 계산해보겠다.

 

aaabbbbbbb을 일렬로 나열하는 경우의 수

따라서 120a3b7이 된다.

‘같은 것이 있는 순열’을 이용하여 이항정리식으로 표현하면 다음과 같다.

이를 일반화하면,

이 된다.

 

어떤가? 이항정리의 전개식에서 각 항의 계수를 찾는 것이 ‘순열’이나 ‘조합’과 관계가 있다는 것을 알 수 있다.

지금까지 공부한 내용을 가지고 이제 (a+ b)100 속에 들어있는 a30b70의 항의 계수를 찾을 수 있게 된다. ‘파스칼의 삼각형’으로 문제를 해결하려면 무려 100줄에 가까운 숫자 그림을 그려야 하지만 이제 그럴 필요가 없다.

 

첫번째, ‘같은 것이 있는 순열’로 풀면 a30b70은

를 일렬로 나열하는 방법이므로

이 된다.

 

두번째, ‘조합’으로 풀면 (a+ b)100을 (a+b)가 100개이고 각각 순서가 있는 네모박스로 해석한다.

위 그림에 30칸을 고르는(택하는) 경우의 수이므로

100C30이 된다.

 

둘다 같은 수라는 것도 알 수 있다.

이제 이 과정을 기호로 나타내면 공식이 완성된다.

(a+ b)10이든 (a+ b)100이든 특정한 수가 아닌 문자 n을 사용하면,

(a+ b)n이 되고 n은 자연수라고 하자.

조합으로 표시하게 되면 다음과 같이 전개됨을 알 수 있다.

식은 복잡해보이지만 항을 한 개씩 가져와서 보면,

 

n은 10이 될 수 있고 1000이 될 수도 있다.

이항정리식이 아니었다면 얼마나 불편할지 상상해보자.

 

만약 (a+ b)1000을 전개한다고 해보자. 이 전개식은 1001개의 항이 있는데,

a1000부터 b1000까지 a는 차수가 하나씩 줄고, b는 차수가 하나씩 늘어나는 것이다. 이때 만약 a300b700항의 계수를 알기 위해 파스칼의 삼각형으로 이 값을 찾으려면 1000줄에 가까운 파스칼 삼각형을 만들어야 한다.

위 그림만 하더라도 8줄에 불과한데 1000줄을 그리려면 거의 불가능에 가깝지만, ‘조합’ 또는 ‘순열’을 이용한 이항정리식을 이용하면,

1000C700a300b700

또는

 

으로 아주 간단히 항의 계수를 알 수 있게 된다.

 

 

이항정리식의 확장 : 항의 세 개 이상인 이항정리

 

(a+ b)n은 a 또는 b를 총 n번 택하여 나열하는 것과 같다.

a를 p번, b를 q번 택하여 나열한다고 하자. 이때 p+q=n과 같다.

 

가령 n=5인 (a+ b)5에서 a를 3번, b를 2번 택하여 나열한다고 하면

p= 3, q= 2, p + q = 5 인 것이다.

 

다시 (a+b)n에서 a를 p번, b를 q번 택하여 만든 apbq항 의 계수는 ‘같은 것이 있는 순열’로 해석하면,

인 것이다. 각 항은 apbq이고 가짓수는

이므로

가 된다.

 

이것을 좀 더 확장시키면 (a+b+c)n도 활용할 수 있다.

이항정리는 (○+△)n 꼴과 같이 2개의 항을 거듭제곱한 것을 전개식으로써 나타내는 것인데, (a+b+c)n처럼 (○+△+□)n 꼴이면 항이 세 개이므로 이항정리로 나타낼 수 없을 것 같다.

하지만 이항이라는 것은 얼마든지 해석하기 나름이다. 가령 (○+△+□)n에서 ○+△을 (○+△)와 같이 괄호로 묶어 하나의 덩어리로 보면,

충분히 이항정리로 생각할 수 있다.

(○  +  △)을 p번, □을 q번 택하는 항은

이때, (○+△)p를 다시 이항정리로 생각할 수 있다.

p= p′+ r 이고, ○를 p′ 번, △를 r번 택하는 항은

이다. 결국 ○를 p′번, △를 r번, □를 q번 택하는 항은

이다.

일반적으로 (a+ b+ c)n에서 a를 p번, b를 q번, c를 r번 택하는 항은

이면 apbqcr의 항의 계수는 aaa⋯abbb⋯bccc⋯c을 일렬로 나열하는 경우의 수인

 

이므로

이다.

 

가령, (a+ b+ c)10이 있다면, 이 속에는 a3b4c3과 같은 항이 있을 것이다. (3+4+3=10) 이 항의 계수가 바로

이 된다는 것이다.

 

이항정리를 처음 배우게 되면 주로 (a+ b)n과 같이 a와 b라는 항을 보게 된다. 그런데 (x+y)n이나 (1+1)n와 같이 a, b와 다른 문자나 숫자가 대신 들어가면 왠지 낯설게 보인다. 하지만 ‘이항’이라는 구조는 동일하다.

이항정리는 항의 개수가 2개인 경우, 이의 거듭제곱을 전개하는 식인데, (○+△)n과 같은 구조에서 무엇을 ○, △로 볼 것인가는 ‘해석’에 달려있다.

 

만약 (a+ b+ c+ d+ e+ f+ g)n를 괄호안에 7개의 항으로 볼 수도 있지만

{(a+ b+ c+ d+ e)+(f+ g)}n로 해석하면

 

○=(a+b+c+d+e)

△=(f+g)

 

인 이항정리의 이항(二項)으로 볼 수도 있는 것이다.

 

혹은 an을 a라는 1개의 항을 n거듭제곱으로 볼 수도 있지만, ‘해석’하기에 따라서

로 볼 수도 있으므로

이항정리로 표현할 수도 있는 것이다. 또는

로 보면

가 될 수도 있다.

따라서 괄호 안의 항의 개수와 상관없이 ‘내가 2개의 항으로 얼마든지 자유롭게 해석’할 수 있다는 것이 핵심이다.

 

 

이항정리의 독립시행확률 문제로의 확장

2n은 (1+1)n또는

로 나타낼 수 있다.

1n은

과 같이 나타낼 수 있는데 이것은 확률까지 확장될 수 있는 것이다. 가령 동전을 던지면 앞면이 나올 확률이

, 뒷면이 나올 확률이

인데, 둘을 합치면 1이다. 동전을 두 번이든 세 번이든 던져도 앞면이 나올 확률은 항상

인 독립시행확률을 가진다. 만일 동전을 3번 던져서 앞면이 2번 나올 확률을 구하라는 문제가 나온다면,

(HHT,HTH,THH) 3가지 경우가 나는데, 이 경우의 수란 마치

(H+ T)3에서 H가 2번, T가 1번 나오는 H2T의 항의 계수를 구하는 경우의 수와 같다.

(H+ T)3에서 3이란 ‘동전을 던진 횟수’이다. 그렇다면 ‘앞면’ 또는 ‘뒷면’이 나오는 횟수가 합쳐서 3번이 된다.

이항정리를 이용하면 ‘동전을 3번 던져서 앞면(H)이 2번, 뒷면(T)이 1번 나오는 항은 3C2H2T라는 항이 됨을 알 수 있고, 동전의 경우 H=

, T=

의 확률로 바꿀 수 있으므로

이와 같이 나중에 배우게 될 ‘독립시행확률’에서도 이항정리의 개념이 그대로 사용된다.

이항정리는 괄호 안의 항이 몇 개이든 상관없이 (○+△)처럼 2개로 해석하고 (○+△)n꼴로 만들어 전개되는 각 항들의 정보를 얻는 것이다.

(1+ x)n을 전개하면 어떻게 될까?

(1+ x)가 n번 곱해졌으므로

 

 

우리가 앞서 배운대로 1 또는 x를 n번 선택하는 방식으로 전개해보자.

1은 거듭제곱하더라도 1이고 1의 곱은 생략이 가능하므로

로 표현할 수 있다.

 

이제부터 x에 어떤 상수가 들어가게 되면 위 식이 어떻게 표현되는지 살펴보자.

x=1인 경우,

 

즉,

이다.

 

x=-1인 경우,

이다.

(1+x)n에서 1인 경우와 x=-1인 경우를 나란히 놓고 보면,

인데 좌변과 우변을 각각 더하면 다음과 같다.

 

양변을 2로 나누면

가 된다.

 

또 반대로 좌변과 우변을 각각 빼면 다음과 같다.

 

양변을 2로 나누면

가 된다.