순열의 원리와 계산법

 

순열의 원리와 계산법

확률과 통계는 하나의 사례에서 출발한다.

이 사례는 ‘세 자리 정수 만들기’로 불리어지는데 ‘순열’ 개념이 사용된다.

여기에 서로 다른 다섯 개의 숫자가 있다.

 

 

‘서로 다르다’

‘다섯 개’

두 가지를 조건으로 가진다.

물론 일부 같은 것이 있거나, 모두 같은 경우도 있다.

 

 

이것은 ‘같은 것이 있는 순열’에서 다룬다. 지금은 모든 것이 서로 다른 경우를 기본으로 살펴보기로 한다.

아래에 ‘서로 다른’, ‘다섯 개의 숫자’로 세 자리의 자연수를 만드는 문제가 있다.

 

 

‘백의 자리’, ‘십의 자리’, ‘일의 자리’에 1 2 3 4 5 을 사용하여 세 자리 수를 만들어보자.

먼저 ‘백의 자리’에 들어갈 수 있는 숫자는 몇 가지가 있을까? 1 2 3 4 5 모두 가능하므로 ‘5가지’이다.

 

 

 다음으로 ‘십의 자리’에 들어갈 숫자는 몇 가지일까?

남아있는 1 2 3 4 중 아무거나 ‘십의 자리’ 숫자가 될 수 있으므로 ‘4가지’ 경우가 된다.

 

 

 끝으로 ‘일의 자리’에 들어갈 숫자는 몇 가지일까? 남아있는 1 3 4 중 아무거나 ‘일의 자리’ 숫자가 될 수 있으므로 ‘3가지’이다.

 

 

 이렇게 하여 정리하면 1 2 3 4 5 로 세 자리 정수를 만드는 경우의 수는 ‘백의 자리’, ‘십의 자리’, ‘일의 자리’에 각각 ‘5가지 경우’, ‘4가지 경우’, ‘3가지 경우’가 성립된다.

 

 

세 자리 정수를 만들기 위해서는 ‘백의 자리’, ‘십의 자리’, ‘일의 자리’가 ‘동시에’ 정해져야 한다. 우리는 세 자리의 정수를 만들기 위해

 

1) 백의 자리에 수를 넣는다.

2) 십의 자리에 수를 넣는다.

3) 일의 자리에 수를 넣는다.

 

총 3번의 '행위(Action)'를 '동시에' 하였다. 세 자리 정수는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리가 따로따로 있는 것이 아니라 '순서대로' 모여야만 세 자리가 되는 것이다. 즉 세 번의 행위가 상호 연관성을 지니면서 세 자리의 정수라는 의미 있는 수를 만들어낸 것이다. 이 때 각각의 행위에서 만들어지는 경우의 수를 모두 ‘곱셈’으로 계산하는 것을 ‘곱의 법칙’이라고 한다.

‘백의 자리’는 5가지 경우, ‘십의 자리’는 4가지 경우, ‘일의 자리’는 3가지 경우이므로 세 자리 정수를 만드는 총 경우의 수는

 

5×4×3=60

 

가 된다. 정말 60가지나 될까? 로 만들 수 있는 세 자리 정수를 모두 나열해보자.

 

 

각각 백의 자리 숫자마다 12개의 경우가 나오니 60개가 된다.

이를 다른 그림으로 표현해보면 다음처럼 생각할 수 있다.

선택된 숫자는 다음 선택에서 제외되므로 마찬가지로 5×4×3=60(가지)이다.

지금까지 우리가 사용한 수학개념이 바로 ‘순열’이다. ‘순열’은 한자말인데 한 글자씩 살펴보면 다음과 같다.

 

 

‘순서가 있다’는 것은 가령 1과 2가 있다고 할 때, 이 두 숫자를 ‘나열’하는 방법은 12와 21 두 가지라고 할 수 있다. 이렇듯 숫자의 순서가 다르면 다른 경우로 본다는 의미이다. 너무나 당연한 이야기 같지만 조금 후에 이야기할 ‘조합’ 개념에서는 순서가 상관없으므로 12, 21 모두 같은 경우(즉 한 가지 경우)로 본다.

 

순열을 수학기호로 표시하면

_nP_r

이다. n과 r 대신 숫자가 들어간다. P는 이것이 순열이라는 의미이다.

‘엔 퍼뮤테이션 알’ 또는 줄여서 ‘엔 피 알’이라고 읽는다.

방금 1 2 3 4 5 를 이용하여 세 자리 정수를 만드는 문제를 표현하면

이 된다. 서로 다른 5개(1 2 3 4 5)중에서 3개를 택하여 일렬로 나열(세 자리 정수)하는 방법의 수인 것이다.

 

₅P₃의 값은? 60이다.

 

여기서 주의할 점은 _nP_r에서 n은 서로 다른 것이어야 한다. 가령 위와 같이 1 2 3 4 5 가 있다고 하면, 이 숫자들은 ‘모두 서로 다른 것’에 해당한다.

만일 1 2 3 4 5 이 있다고 하면 숫자가 5개이지만 모두 서로 다르다고 할 수 없으므로 순열로 풀 수 없게 된다.

 

순열의 표시방법을 알았으니 이제 계산법을 알아보자.

그럼 ₆P₂는 어떻게 계산할까?

₆P₂를 문장으로 나타내보자.

 

 

6은 서로 다른 것의 개수이고

2는 뽑는 개수

P는 순서대로 나열