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일상생활에서 흔하게 마주치는 통계적 추정의 예시 https://play.google.com/store/apps/details?id=com.clicker.smartnfast&hl=en-KR Auto Clicker - SmartNFast – Apps on Google PlayAuto Clicker: Tap repeatedly, user-friendly, multiple points.play.google.com일상생활에서 흔하게 마주치는 통계적 추정의 예시많은 사람들이 자신의 경험에 빗대어 어떤 사실에 대해 ‘대부분’이라든지 ‘거의 전부야’라는 판단을 한다. 하지만 대부분의 사람들은 자신 주변에 2명 내지는 3명 정도의 표본을 보고서 ‘일반화’시키거나 ‘확대’해석하는 것에 불과하다. 왜냐하면 지구 상의 인구가 60억이고 대한민국의 인구가 5000만인데 대부.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 3.
확률변수 -> 확률분포표 만드는 방법 확률변수 -> 확률분포표 만드는 방법 통계에 나오는 ‘확률변수’라는 용어는 이런 의미이다. 확률변수는 ‘집합’이고, 확률변수가 취하는 값은 ‘원소’이다. 확률변수는 집합이므로 대문자로 X 또는 Y로 표현한다. (ex 확률변수 X, 확률변수 Y, 확률변수 Z 등) 확률변수가 취하는 값은 원소이므로 소문자 x1, x2, x3, ⋯등으로 나타낸다. 가령, 확률변수 X가 취하는 값이 x1, x2, x3, x4, x5라고 하면, 로 나타낼 수 있다. 확률변수는 단순한 집합이 아니라, ‘확률’과 관계된 집합이다. 이 집합에 속하는 원소(=확률변수 X가 취하는 값) x1, x2, x3, x4, x5는 ‘확률값’에 대응되는 함수를 갖는다. 다시 말해 ‘확률변수X(or Y or Z)는 그 원소가 어떤 확률에 대응되는 함.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 1.
야구 경기 문제로 살펴보는 독립시행확률 야구 경기 문제로 살펴보는 독립시행확률 독립시행은 각각의 시행확률이 일정하게 정해져 있고 각 시행이 서로 영향을 주지 않는 것을 말한다. (ex, 동전던지기, 주사위 여러번 던지기, 구슬 꺼내고 다시 집어넣기 등) 꼭 동전 던지기가 아니더라도 개별 시행의 확률이 일정한(=변함없는) 관계에도 독립시행확률이 될 수 있다. 가령 A팀, B팀이 야구경기를 한다고 할 때, 팀이 이길 확률이 이라고 하면, 이 확률이 독립시행 확률이 된다. 매번 경기를 할 때마다 의 확률로 같기 때문이다. 문제는 보통 다음과 같이 나온다. A, B두 팀이 5번 경기를 한다. A팀이 3번 이기고, B팀이 2번 이길 확률을 구하시오. 이 문제를 분석해보면 5번 경기를 한다고 했으므로 반드시 5번의 경기를 치러야 한다. 3선승제의 조건이.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 1.
독립시행확률 : 동전을 100번 던져도 앞면이 나올 확률이 1/2로 똑같은 이유 독립시행확률 : 동전을 100번 던져도 앞면이 나올 확률이 1/2로 똑같은 이유 ‘독립’의 의미는 어떤 다른 조건도 영향을 미치지 않는다는 뜻이다. ‘시행’은 동일한 조건에서 반복적으로 행위를 할 수 있을 때, 그 행위를 시행이라 한다. ‘독립시행’이란 매 시행마다 앞의 시행에 관계없이 결과가 나오는 시행을 말한다. 수학에서 주로 많이 드는 독립시행의 예시는 동전 던지기 또는 주사위 던지기이다. 수학 교과서에서 이야기하는 동전이나 주사위가 현실에서 보는 동전, 주사위와 다르다는 것을 먼저 알 필요가 있다. 수학책에서 ‘동전’은 현실의 동전과 무엇이 다를까? 가령 길거리에 동전 1개가 떨어져있고 많은 사람들이 동전을 밟고 지나가기를 일주일이 지났다고 해보자. 과연 그 동전이 완벽한 동전일까? 이 동전을 던.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 1.
조합으로 설명되는 로또 100% 당첨되는 방법 조합으로 설명되는 로또 100% 당첨되는 방법 확률하면 가장 많이 떠오르는 것이 사실 ‘로또’와 같은 것이다. 우리는 어떤 사건이 발생할 확률이 매우 낮은 경우 ‘그것은 로또에 당첨될 확률이다’라는 말을 하곤 한다. 그렇다면 로또 1등에 당첨될 확률은 얼마일까? 로또는 1부터 45까지의 숫자 중 임의로 택한 6개의 수가 순서에 관계없이 일치하기만 하면 1등이 된다. 서로 다른 45개 중 6개를 택하는 경우의 수는 ‘조합’이고 45C6이다. 즉, 45개의 숫자로 만들 수 있는 1등 숫자는 45C6가지인 것이다. 자 지금부터 로또에 100% 당첨되는 방법을 알려주겠다. 일단 로또를 8,145,060회 할 수 있는 분량의 종이를 가지고 와서 ‘모든 경우의 수’를 적으면 그 어떤 숫자 6개가 나오더라도 8,14.. 공감수 2 댓글수 0 2022. 9. 1.
이항정리가 파스칼삼각형의 한계를 극복? 이항정리가 파스칼삼각형의 한계를 극복? 이항(二項) : 항이 2개라는 뜻임. 이항정리는 경우의 수, 확률, 통계의 가교역할을 하는 매우 중요한 개념이다. 경우의 수에서 처음으로 이항정리가 소개되고 이항정리를 ‘같은 것이 있는 순열’ 또는 ‘조합’으로 설명한다. 확률에서 이항정리의 구조가 ‘독립시행 확률’에 녹아들어가고, 통계에서 이항정리의 구조가 ‘이항분포식’으로 녹아들어가기 때문이다. 여기에서는 먼저 이항정리가 왜 필요한지와 이항정리가 어떤 개념으로 설명이 되는지 살펴보도록 한다. 우리는 앞의 과정에서 아래와 같은 공식을 배운 적이 있다. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 이 2개의 공식으로부터 어떤 규칙성을 찾아보기로 하자. ① (a+b)2을 전개하면 항이 3개이.. 공감수 1 댓글수 0 2022. 9. 1.
함수의 개수 구하는 방법 : 순열,조합,중복순열,중복조합 사례 함수의 개수 구하는 방법 : 순열,조합,중복순열,중복조합 사례 서로 다른 n개 중에서 중복을 허락하여 뽑은 다음, 일렬로 나열하는 경우의 수 순열과 중복순열의 차이는 중복을 허락하느냐에 있다. 가장 처음에 들었던 예시를 다시 가지고 와보면, 서로 다른 5개의 수를 가지고 3자리 정수를 만드는 문제가 있다. 각 자리에 들어갈 수 있는 수는 순열의 경우에는 다음과 같다. 5 × 4 × 3 = 60(가지) 하지만 중복을 허용하게 되면 각 자리의 경우의 수가 모두 동일하게 5가지가 된다. 5 × 5 × 5 = 125(가지) 중복순열의 기호는 다음과 같다. 중복순열은 중복을 허용한다는 점과 순서를 고려한다는 점이 특징이다. 계산은 다음과 같이 한다. nΠr = nr 이를 함수의 형태로 해석하면 다음과 같다. 백의.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 1.
원순열 고정의 의미, 회전의 의미 원순열 고정의 의미, 회전의 의미 순열에는 원순열도 있다. 원순열은 ‘원형으로 돌려서 같은 경우가 있으면 제외한다’는 것이 원리이다. 가령 다음과 같은 그림이 있다고 하자. A, B, C, D 4명이 원탁에 앉은 그림이다. 2개의 그림이 얼핏 보면 다른 경우처럼 보이지만, 사실 같은 경우이다. 또한 위 그림처럼 계속 회전을 시킨다면 같은 경우가 총 4개가 나온다. 원순열의 원은 ‘동그란 모양(Round)’이 아닌 ‘동그란 모양으로 회전(Rotate)’의 뜻에 가깝다. 위 그림을 다음과 같이 만들어도 동일하기 때문이다. 원순열에서 중요한 것은 원모양으로 회전시켰을 때, 겹쳐지면 1가지 경우로 본다는 것이다. 원순열은 일렬로 나열하는 경우의 수에서 ‘회전’해서 겹치는 경우를 제외한다. 여기서 키워드는 ‘회전.. 공감수 2 댓글수 0 2022. 9. 1.
조합 = 전체가 같은 것이 있는 순열 조합 = 전체가 같은 것이 있는 순열 같은 것이 있는 순열을 배웠다면, 이제 조합(Combination)에 대한 이야기를 할 수 있다. (같은것이없는)순열 → 같은것이있는순열 → 조합 이 순서대로 공부하고 있는 것이다. ‘같은 것이 있는 순열’은 ‘일부’ 같은 것이 있기 때문에 이들끼리 자리를 바꾸는 경우를 1가지 경우로 만들기 위해 ‘같은 것끼리 배열하는 경우’를 나누어주었다. 지금부터 이야기할 조합은 사실 같은 것이 있는 순열의 확장판이라고 생각하면 된다. 먼저 조합의 정의를 살펴보자. 순열 : 서로 다른 n개 중 | r개를 택하여 |일렬로 나열하는 | 방법의 수 조합 : 서로 다른 n개 중 | r개를 택하는 | 방법의 수 이 둘의 차이가 무엇일까? 바로 순열은 `일렬로 나열‘하지만 조합은 일렬로 나.. 공감수 3 댓글수 0 2022. 9. 1.
같은 것이 있는 순열의 원리 같은 것이 있는 순열의 원리 다음으로 이야기할 개념은 ‘같은 것이 있는 순열’이다. 지금까지 이야기한 개념은 ‘같은 것이 없는 순열’이라면 일부 같은 것이 섞여 있는 경우도 있다. 보통 알파벳의 순서를 나열하는 문제가 대표적이다. APPLE이라는 단어가 있다고 하자. 같은 것이 있는가? PP가 2개가 있으니 같은 것이 있다. 그렇다면 A,P,P,L,E을 순서대로 나열하는 경우는 몇 가지일까? 아무거나 써보자. PPALE APLPE LEPAP ELAPP 꽤 많은 경우가 나올 것 같다. 하나도 빠짐없이 찾기가 쉽지가 않은 상황이다. 좋은 방법이 없을까? 우리는 앞에서 ‘같은 것이 없는 순열’을 배웠다. 이걸 최대한 이용해보는 건 어떨까? 같은 것이 없는 영어 단어 하나를 가지고 와보자. 서로 다른 4개(CA.. 공감수 3 댓글수 0 2022. 9. 1.
순열의 원리와 계산법 순열의 원리와 계산법 확률과 통계는 하나의 사례에서 출발한다. 이 사례는 ‘세 자리 정수 만들기’로 불리어지는데 ‘순열’ 개념이 사용된다. 여기에 서로 다른 다섯 개의 숫자가 있다. ‘서로 다르다’ ‘다섯 개’ 두 가지를 조건으로 가진다. 물론 일부 같은 것이 있거나, 모두 같은 경우도 있다. 이것은 ‘같은 것이 있는 순열’에서 다룬다. 지금은 모든 것이 서로 다른 경우를 기본으로 살펴보기로 한다. 아래에 ‘서로 다른’, ‘다섯 개의 숫자’로 세 자리의 자연수를 만드는 문제가 있다. ‘백의 자리’, ‘십의 자리’, ‘일의 자리’에 1 2 3 4 5 을 사용하여 세 자리 수를 만들어보자. 먼저 ‘백의 자리’에 들어갈 수 있는 숫자는 몇 가지가 있을까? 1 2 3 4 5 모두 가능하므로 ‘5가지’이다. 다음.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 9. 1.

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